Comment calculer l’aire d’un triangle ?
Dans la géométrie, le triangle est une figure courante dont l’étude permet de résoudre un bon nombre de problèmes. Un des éléments souvent sollicité à propos des triangles est leur « aire », qui représente la surface qu’ils occupent dans un plan. Dans cet article, nous vous guiderons pas à pas pour comprendre et maîtriser le processus de calcul de l’aire d’un triangle.
Les différents types de triangles
Pour bien démarrer, il faut d’abord connaître les différents types de triangles existants :
- Triangle équilatéral : Ses trois côtés sont de même longueur et ses trois angles sont égaux (60° chacun).
- Triangle isocèle : Il possède deux côtés de même longueur et deux angles égaux.
- Triangle scalène : Aucun côté ni aucun angle ne sont égaux entre eux.
- Triangle rectangle : L’un de ses angles mesure 90° .
Maintenant que vous êtes familiarisé avec les différents types de triangles, passons aux méthodes de calcul de leur aire.
La formule générale de l’aire d’un triangle
Connaître la formule de base pour calculer l’aire d’un triangle est indispensable. Cette formule est :
Aire = (base × hauteur) / 2
Il s’agit de la formule la plus utilisée pour déterminer l’aire d’un triangle. Dans cette formule, la « base » peut être n’importe quel côté du triangle et la « hauteur » est la distance perpendiculaire entre ce côté (la base) et le sommet opposé.
Exemple d’application :
Prenons un triangle ABC avec AB = 12 cm comme base et une hauteur issue du point C mesurant 8 cm, nous avons :
Aire = (12 × 8) / 2
Aire = 48 cm²
Ceci dit, il existe des méthodes spécifiques pour certains types de triangles qui facilitent encore plus le calcul de leur aire.
L’aire d’un triangle équilatéral
Le triangle équilatéral présente la particularité d’avoir ses trois côtés égaux. La formule spécifique pour calculer son aire est la suivante :
Aire = (√3/4) × (côté)²
Exemple d’application :
Soit un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 6 cm, on a :
Aire = (√3/4) × (6)²
Aire ≈ 15,59 cm²
Cette méthode permet ainsi de trouver l’aire sans avoir à déterminer la hauteur du triangle.
L’aire d’un triangle rectangle
Pour un triangle rectangle, la formule est très simple : il suffit de prendre les deux côtés qui forment l’angle droit comme base et hauteur. En d’autres termes :
Aire = (côté adjacent × côté opposé) / 2
Exemple d’application :
Considérons un triangle rectangle avec un côté adjacent de 5 cm et un côté opposé de 12 cm, l’aire s’obtient ainsi :
Aire = (5 × 12) / 2
Aire = 30 cm²
L’aire d’un triangle quelconque
Pour les triangles scalènes ou isocèles, il faut parfois recourir à la formule de Héron pour calculer l’aire sans connaître la hauteur :
Aire = √(p × (p – a) × (p – b) × (p – c))
Ici, « a », « b » et « c » sont les longueurs des trois côtés du triangle, et « p » désigne le demi-périmètre du triangle, soit :
p = (a + b + c) / 2
Exemple d’application :
Soit un triangle dont les côtés mesurent a = 7 cm, b = 10 cm et c = 8 cm. On commence par déterminer le demi-périmètre :
p = (7 + 10 + 8) / 2
p = 12,5
On peut ensuite appliquer la formule de Héron :
Aire = √(12,5 × (12,5 – 7) × (12,5 – 10) × (12,5 – 8))
Aire ≈ 27,81 cm²
Ainsi, quel que soit le type de triangle, vous disposez maintenant des méthodes pour calculer son aire en toute simplicité.
